PHÒNG GD&ĐT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ
TP.BẮC GIANG NĂM HỌC 2013-2014
Môn: Toán lớp 9
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (4 điểm)
a/Rút gọn biểu thức: A=x2−5x+6+3x2−6x+8−−−−−−−−−√3x−12+(x−3)x2−6x+8−−−−−−−−−√
b/Cho a,b,c là số dương thỏa mãn điều kiện: a+b+c=3 và a√+b√+c√+ab−−√+bc−−√+ca−−√=6.
Tính giá trị biểu thức M=a30+b4+c1975a30+b4+c2014
Bài 2: (5 điểm)
a/Tìm x,y nguyên biết: x4−2y4−x2y2−4x2−7y2=5
b/ Giải phương trình: x+16−x2−−−−−−√=5x+4−−−−−√+4−x−−−−−√−8
Bài 3:(4điểm)
a/ Cho a,b,c là các số hữu tỉ thỏa mãn a+b+c=0
Chứng minh
N=(ab+2c2)(bc+2a2)(−ca−2b2)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√ là 1 số hữu tỉ
b/Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=3
Chứng minh
∑a+1b2+1≥3
Bài 4:(6 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC), gọi O là tâm đườn
tròn nội tiếp tam giác ABC. Vẽ đường tròn (O;OA) cắt BC tại M và N ( M
nằm giữa B và N). Gọi E là giao điểm của AM với BO, gọi D là giao điểm
của AN với CO.Gọi H là giao điểm của MD và NE, tia AH cắt BC tại F
a/ Chứng minh 1AF2=1AB2+1AC2
b/ Gọi K và I lần lượt là trung điểm của AH và MN.Chứng minh tứ giác EIDK là hình vuông.
c/Chứng minh OH đi qua trung điểm của IK
Bài 5:(1 điểm)
Cho a,b là số nguyên tố thỏa mãn
a−1⋮b và
b3−1⋮a
Chứng minh
M=a+b−−−−√ là số nguyên
By 1√
