ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 TP.BẮC GIANG NĂM 2013-2014

PHÒNG GD&ĐT                                                       ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ               
TP.BẮC GIANG                                                                 NĂM HỌC 2013-2014
                                                                                              Môn: Toán lớp 9
                                                                                         Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (4 điểm)

a/Rút gọn biểu thức: A=x2−5x+6+3x2−6x+8−−−−−−−−−√3x−12+(x−3)x2−6x+8−−−−−−−−−√

b/Cho a,b,c là số dương thỏa mãn điều kiện: a+b+c=3 và a√+b√+c√+ab−−√+bc−−√+ca−−√=6.

Tính giá trị biểu thức M=a30+b4+c1975a30+b4+c2014

Bài 2: (5 điểm)

a/Tìm x,y nguyên biết: x4−2y4−x2y2−4x2−7y2=5

b/ Giải phương trình: x+16−x2−−−−−−√=5x+4−−−−−√+4−x−−−−−√−8

Bài 3:(4điểm)

a/ Cho a,b,c là các số hữu tỉ thỏa mãn a+b+c=0

Chứng minh N=(ab+2c2)(bc+2a2)(−ca−2b2)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√ là 1 số hữu tỉ

b/Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=3

Chứng minh ∑a+1b2+1≥3
Bài 4:(6 điểm)
          Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC), gọi O là tâm đườn tròn nội tiếp tam giác ABC. Vẽ đường tròn (O;OA) cắt BC tại M và N ( M nằm giữa B và N). Gọi E là giao điểm của AM với BO, gọi D là giao điểm của AN với CO.Gọi H là giao điểm của MD và NE, tia AH cắt BC tại F

a/ Chứng minh 1AF2=1AB2+1AC2

b/ Gọi K và I lần lượt là trung điểm của AH và MN.Chứng minh tứ giác EIDK là hình vuông.

c/Chứng minh OH đi qua trung điểm của IK

Bài 5:(1 điểm)
Cho a,b là số nguyên tố thỏa mãn a−1⋮b và b3−1⋮a
Chứng minh M=a+b−−−−√ là số nguyên
                                             By 1√