Một cách thiết lập dãy số

Cấp số cộng là một dãy số mà số liền sau luôn hơn số đứng ngay trước nó một số không đổi, số đó gọi là công sai. Cấp số cộng tồn tại rất nhiều trong tự nhiên, đơn giản nhất là dãy số đếm 1, 2, 3... Phương pháp sai phân là từ một dãy số ban đầu, ta tính hiệu của số liền sau với số ngay trước nó để được một dãy số mới là một cấp số cộng.

Chẳng hạn với dãy số 5, 7, 11, 17, 25 thì các hiệu tương ứng là: 7 - 5 = 2, 11 - 7 = 4, 17 - 11 = 6, 25 - 17 = 8. Ta được dãy số 2, 4, 6, 8 là một cấp số cộng có công sai bằng 2. Bài toán đặt ra là ta phải tìm số tiếp theo sau số 25 của dãy số trên. Ta thấy số tiếp theo của cấp số cộng là 10 nên số tiếp theo của dãy số là 25 + 10 = 35. Bài toán trên là loại đơn giản trong những bài về sai phân. Trong tự nhiên, có nhiều dãy số có quy luật mà nhờ đến phương pháp sai phân, sau một số bước biến đổi sẽ ra một cấp số cộng. Trong lịch sử, những bài toán về dãy số đều có từ xa xưa và xuất phát từ tự nhiên. Nền toán học Babylon cổ đại đã ghi lại cách thức tính toán của một cấp số cộng. Phương pháp sai phân hữu hạn thì được tìm ra và phát triển muộn hơn, khoảng thế kỷ XVII - XVIII, chủ yếu ở Châu Âu.

Sau đây là một số ví dụ về việc thiết lập dãy số dựa trên sai phân. Dãy số chính phương 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100... chỉ diện tích những hình vuông có cạnh là những số đếm tăng dần là 1 x 1, 2 x 2, 3 x 3... Để tìm hai số tiếp theo của dãy, ta tính 11 x 11 = 121 và 12 x 12 = 144. Tuy vậy có một cách khác để tính như sau: Dãy hiệu hai số liền nhau là 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19. Đây là một cấp số cộng có công sai bằng 2. Hai số tiếp theo của cấp số cộng là 21, 23. Hai số tiếp theo của dãy số chính phương là 100 + 21 = 121, 121 + 23 = 144.

Dãy số chữ nhật 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90... chỉ diện tích của những hình chữ nhật có cạnh là hai số đếm hơn nhau một đơn vị như 1 x 2, 2 x 3, 3 x 4... Để tìm hai số tiếp theo của dãy số, ta lập dãy hiệu hai số liền nhau của dãy số chữ nhật là 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18. Đây là một cấp số cộng. Hai số tiếp theo của cấp số cộng là 20, 22. Hai số tiếp theo của dãy số chữ nhật là 90 + 20 = 110 và 110 + 22 = 132. Thử lại 10 x 11 = 110, 11 x 12 = 132.

Dãy số lập phương 1, 8, 27, 64, 125, 216... chỉ thể tích những khối lập phương có cạnh là những số đếm tăng dần như 1 x 1 x 1, 2 x 2 x 2... Để thiết lập hai số tiếp theo ta lập dãy là những hiệu hai số liền nhau của dãy số lập phương: 7, 19, 37, 61, 91 (1). Từ dãy này, ta tiếp tục tính hiệu hai số liền nhau ta được dãy 12, 18, 24, 30. Đây là một cấp số cộng có công sai bằng 6. Hai số tiếp theo của cấp số cộng là 36, 42. Hai số tiếp theo của dãy số (1) là 91 + 36 = 127, 127 + 42 = 169. Hai số tiếp theo của dãy lập phương là 216 + 127 = 343, 343 + 169 = 512. Thử lại 7 x 7 x 7 = 343, 8 x 8 x 8 = 512.

Nguồn: hanoimoi.com.vn
Vũ Kim Thủy - Hoàng Trọng Hảo